Produto dos termos de uma PG

Produto dos termos de uma PG

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números na qual, a partir do segundo, todo termo é igual ao produto do anterior com uma constante, chamada de razão da PG e representada pela letra q. É possível encontrar o termo geral da PG, somar os termos de uma PG finita ou infinita e encontrar o produto dos termos da PG finita por meio de fórmulas, todas obtidas de maneira simples a partir de algumas propriedades da Matemática.

A fórmula usada para determinar o produto dos termos de uma PG finita é a seguinte:

 

Nessa fórmula, Pn é o resultado encontrado, ou seja, o produto dos termos de uma PG que possui n termos, a1 é o primeiro termo da PG, “q” é sua razão e “n” seu número de termos.

Para demonstrar essa fórmula, é preciso discutir o que acontece com cada termo da PG quando tentamos escrevê-lo em função do primeiro. Para fazer isso, escreveremos a decomposição em fatores primos de cada termo.

Como exemplo, observe a PG a seguir, cujo primeiro termo é 3 e a razão é 2:

(3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, …)

Cada termo dessa PG pode ser obtido por meio de um produto do anterior com 2:

3 = 3

6 = 3·2

12 = 6·2

24 = 12·2

Note também que é possível escrever cada um desses termos como um produto do primeiro termo pela razão:

3 = 3

6 = 3·2

12 = 3·2·2

24 = 3·2·2·2

48 = 3·2·2·2·2

96 = 3·2·2·2·2·2

192 = 3·2·2·2·2·2·2

Para tornar mais clara a relação entre cada termo e a razão da PG, escreveremos cada termo em função do primeiro, multiplicado pela razão na forma de potência, dispondo também a posição ocupada pelos termos com o uso de índices:

a1 = 3 = 3·20

a2 = 6 = 3·21

a3 = 12 = 3·22

a4 = 24 = 3·23

a5 = 48 = 3·24

a6 = 96 = 3·25

a7 = 192 = 3·26

Cada termo da PG é um produto do primeiro termo por uma potência, cuja base é a razão e cujo expoente é uma unidade menor que “a posição” que esse termo ocupa. O sétimo termo, por exemplo, é dado por 3·26.

Assim, podemos admitir que, para qualquer PG:

an = a1·qn – 1

Demonstração da fórmula

Para demonstrar essa fórmula, podemos repetir o procedimento anterior para uma PG finita qualquer a fim de escrever todos os seus elementos em função do primeiro e da razão. Depois, multiplicar todos os termos dessa PG e simplificar o resultado.

Dada a PG (a1, a2, a3, a4, …, an), cuja razão é q, podemos escrever seus termos em função do primeiro:

a1 = a1

a2 = a1·q1

a3 = a1·q2

an – 2 = a1·qn – 3

an – 1 = a1·qn – 2

an = a1·qn – 1

Multiplicando os n termos da PG finita, temos:

Pn = a1·a2·a3· … ·an – 2·an – 1·an

Pn = a1·a1·q1·a1·q2·…·a1·qn – 3·a1·qn – 2·a1·qn – 1

Reorganizando os termos do produto, temos:

Pn = a1· … ·a1·a1·…·a1 ·q1·q2· … ·qn – 3·qn – 2·qn – 1

Observe que a quantidade de a1 que aparece na expressão acima é n, pois a PG possui n termos. Como se trata de uma multiplicação, podemos escrever todos esses “a1” na forma de potência:

Pn = a1n ·q1·q2· … ·qn – 3·qn – 2·qn – 1

Com relação ao produto das razões, podemos notar que as bases são iguais, portanto, pelas propriedades de potências, mantemos a base e somamos os expoentes:

Pn = a1n·q1 + 2 + 3 + … + n – 2 + n – 1

Para finalizar, observe que a soma 1 + 2 + 3 … + n – 2 + n – 1 possui exatamente n – 1 elementos. Como discutido no exemplo, esse índice é sempre uma unidade menor que a “posição” do termo que ele representa, nesse caso, an. Essa é a soma dos termos da progressão aritmética finita B de n termos, cujo primeiro termo é 1 e a razão também é 1. Portanto, a soma dos termos dessa PA é:

Sn = (b1 + bn)n
2

O número de termos da PA é n – 1, logo:

Sn = (1 + n – 1)(n – 1)
2

Sn = n(n – 1)
2

Substituindo esse resultado pela soma na fórmula:

Pn = a1n·q1 + 2 + 3 + … + n – 2 + n – 1

Obtemos a fórmula do produto dos termos de uma PG finita:

 

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